Các vectơ biểu diễn bởi một ma trận vuông 2x2 tương ứng với các cạnh của một hình vuông đơn vị biến đổi thành một hình bình hành.

Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với biến đổi tuyến tính, cũng còn gọi là ánh xạ tuyến tính. Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính Rn → Rm ánh xạ mỗi vectơ x trong Rn vào tích (hay ma trận) Ax, mà là một vectơ trong Rm. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính f: Rn → Rm đại diện bởi một ma trận duy nhất A mxn: một cách tường minh, phần tử (i, j) của A là tọa độ thứ i của f(ej), với ej = (0,...,0,1,0,...,0) là vectơ đơn vị với một trong vị trí thứ j và 0 ở những vị trí khác. Ma trận A được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính f, và A được gọi là ma trận biến đổi của f.

Ví dụ, ma trận vuông 2×2

A = [ a c b d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,}

có thể coi như là biến đổi của hình vuông đơn vị thành một hình bình hành với các đỉnh của nó nằm tại (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), và (c, d). Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân A với mỗi vectơ cột [ 0 0 ] , [ 1 0 ] , [ 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} và [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} . Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi.

Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của R2. Hình màu lam ban đầu được ánh xạ thành hình màu lục. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen.

Phép trượt ngang (Horizontal shear) với m=1.25.	Phép lật theo phương ngang (Horizontal flip)	Phép nén (Squeeze mapping) với r=3/2	Phép phóng tỉ lệ (scale) với tỉ lệ 3/2	Phép quay một góc π/6R = 30°
[ 1 1.25 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}	[ − 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}	[ 3 / 2 0 0 2 / 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}}	[ 3 / 2 0 0 3 / 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}}	[ cos ⁡ ( π / 6 R ) − sin ⁡ ( π / 6 R ) sin ⁡ ( π / 6 R ) cos ⁡ ( π / 6 R ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}}

Đặt tương ứng 1-1 giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng với phép hợp các ánh xạ:[39] nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: Rm → Rk, thì hợp của g ∘ f biểu diễn bằng BA vì

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Phương trình cuối cùng là hệ quả từ tính kết hợp của phép nhân ma trận.

Hạng của ma trận A là số lớn nhất các vectơ hàng độc lập tuyến tính của ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó.[40] Tương đương với hạng của ma trận là chiều Hamel của ảnh của ánh xạ tuyến tính biểu diễn bởi A.[41] Định lý hạng và số chiều của hạch nói rằng số chiều của hạch (kernel) ma trận cộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.[42]